حل {l}{x-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = \frac{299}{19} = 15\frac{14}{19} \approx 15.736842105$$

$$y = -\frac{100}{19} = -5\frac{5}{19} \approx -5.263157895$$

مراحل استفاده از جایگزینی

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 20 ضرب کنید.

$$20x-y=320$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x-y=21,20x-y=320$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x-y=21$$

y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=y+21$$

y+21 را با x در معادله جایگزین کنید، 20x-y=320.

$$20\left(y+21\right)-y=320$$

20 بار y+21.

$$20y+420-y=320$$

20y را به -y اضافه کنید.

$$19y+420=320$$

420 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$19y=-100$$

هر دو طرف بر 19 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{100}{19}$$

-\frac{100}{19} را با y در x=y+21 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{100}{19}+21$$

21 را به -\frac{100}{19} اضافه کنید.

$$x=\frac{299}{19}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

مراحل استفاده از ماتریس

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 20 ضرب کنید.

$$20x-y=320$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x-y=21,20x-y=320$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-20\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{20}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\\-\frac{20}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{19}\\-\frac{100}{19}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

مراحل استفاده از حذف

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 20 ضرب کنید.

$$20x-y=320$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x-y=21,20x-y=320$$

20x-y=320 را از x-y=21 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$x-20x-y+y=21-320$$

-y را به y اضافه کنید. عبارت‌های -y و y با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$x-20x=21-320$$

x را به -20x اضافه کنید.

$$-19x=21-320$$

21 را به -320 اضافه کنید.

$$-19x=-299$$

هر دو طرف بر -19 تقسیم شوند.

$$x=\frac{299}{19}$$

\frac{299}{19} را با x در 20x-y=320 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$20\times \frac{299}{19}-y=320$$

20 بار \frac{299}{19}.

$$\frac{5980}{19}-y=320$$

\frac{5980}{19} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-y=\frac{100}{19}$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{100}{19}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$