حل {l}{x-20x-10/30-y-10/10=0}{20x-y/20+y-10/10+frac{y}{40}=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x - \frac { 20 x - 10 } { 30 } - \frac { y - 10 } { 10 } = 0 } \\ { \frac { 20 x - y } { 20 } + \frac { y - 10 } { 10 } + \frac { y } { 40 } = 0 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=0$$

$$y = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3} \approx 13.333333333$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 30، کوچکترین مضرب مشترک 30,10، ضرب شود.

$$30x-\left(20x-10\right)-3\left(y-10\right)=0$$

برای پیدا کردن متضاد 20x-10، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$30x-20x+10-3\left(y-10\right)=0$$

30x و -20x را برای به دست آوردن 10x ترکیب کنید.

$$10x+10-3\left(y-10\right)=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب -3 در y-10 استفاده کنید.

$$10x+10-3y+30=0$$

10 و 30 را برای دریافت 40 اضافه کنید.

$$10x+40-3y=0$$

40 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$10x-3y=-40$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 40، کوچکترین مضرب مشترک 20,10,40، ضرب شود.

$$2\left(20x-y\right)+4\left(y-10\right)+y=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در 20x-y استفاده کنید.

$$40x-2y+4\left(y-10\right)+y=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در y-10 استفاده کنید.

$$40x-2y+4y-40+y=0$$

-2y و 4y را برای به دست آوردن 2y ترکیب کنید.

$$40x+2y-40+y=0$$

2y و y را برای به دست آوردن 3y ترکیب کنید.

$$40x+3y-40=0$$

40 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$40x+3y=40$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$10x-3y=-40,40x+3y=40$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$10x-3y=-40$$

3y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$10x=3y-40$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{10}\left(3y-40\right)$$

\frac{1}{10} بار 3y-40.

$$x=\frac{3}{10}y-4$$

\frac{3y}{10}-4 را با x در معادله جایگزین کنید، 40x+3y=40.

$$40\left(\frac{3}{10}y-4\right)+3y=40$$

40 بار \frac{3y}{10}-4.

$$12y-160+3y=40$$

12y را به 3y اضافه کنید.

$$15y-160=40$$

160 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$15y=200$$

هر دو طرف بر 15 تقسیم شوند.

$$y=\frac{40}{3}$$

\frac{40}{3} را با y در x=\frac{3}{10}y-4 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\frac{3}{10}\times \frac{40}{3}-4$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{3}{10} را در \frac{40}{3} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x=4-4$$

-4 را به 4 اضافه کنید.

$$x=0$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=0,y=\frac{40}{3}$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 30، کوچکترین مضرب مشترک 30,10، ضرب شود.

$$30x-\left(20x-10\right)-3\left(y-10\right)=0$$

برای پیدا کردن متضاد 20x-10، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$30x-20x+10-3\left(y-10\right)=0$$

30x و -20x را برای به دست آوردن 10x ترکیب کنید.

$$10x+10-3\left(y-10\right)=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب -3 در y-10 استفاده کنید.

$$10x+10-3y+30=0$$

10 و 30 را برای دریافت 40 اضافه کنید.

$$10x+40-3y=0$$

40 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$10x-3y=-40$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 40، کوچکترین مضرب مشترک 20,10,40، ضرب شود.

$$2\left(20x-y\right)+4\left(y-10\right)+y=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در 20x-y استفاده کنید.

$$40x-2y+4\left(y-10\right)+y=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در y-10 استفاده کنید.

$$40x-2y+4y-40+y=0$$

-2y و 4y را برای به دست آوردن 2y ترکیب کنید.

$$40x+2y-40+y=0$$

2y و y را برای به دست آوردن 3y ترکیب کنید.

$$40x+3y-40=0$$

40 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$40x+3y=40$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$10x-3y=-40,40x+3y=40$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}10&-3\\40&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-40\\40\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}10&-3\\40&3\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\40&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-3\\40&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\40&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\40\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\40&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\40\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\40&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\40\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10\times 3-\left(-3\times 40\right)}&-\frac{-3}{10\times 3-\left(-3\times 40\right)}\\-\frac{40}{10\times 3-\left(-3\times 40\right)}&\frac{10}{10\times 3-\left(-3\times 40\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\40\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50}&\frac{1}{50}\\-\frac{4}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\40\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50}\left(-40\right)+\frac{1}{50}\times 40\\-\frac{4}{15}\left(-40\right)+\frac{1}{15}\times 40\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{40}{3}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=0,y=\frac{40}{3}$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 30، کوچکترین مضرب مشترک 30,10، ضرب شود.

$$30x-\left(20x-10\right)-3\left(y-10\right)=0$$

برای پیدا کردن متضاد 20x-10، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$30x-20x+10-3\left(y-10\right)=0$$

30x و -20x را برای به دست آوردن 10x ترکیب کنید.

$$10x+10-3\left(y-10\right)=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب -3 در y-10 استفاده کنید.

$$10x+10-3y+30=0$$

10 و 30 را برای دریافت 40 اضافه کنید.

$$10x+40-3y=0$$

40 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$10x-3y=-40$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 40، کوچکترین مضرب مشترک 20,10,40، ضرب شود.

$$2\left(20x-y\right)+4\left(y-10\right)+y=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در 20x-y استفاده کنید.

$$40x-2y+4\left(y-10\right)+y=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در y-10 استفاده کنید.

$$40x-2y+4y-40+y=0$$

-2y و 4y را برای به دست آوردن 2y ترکیب کنید.

$$40x+2y-40+y=0$$

2y و y را برای به دست آوردن 3y ترکیب کنید.

$$40x+3y-40=0$$

40 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$40x+3y=40$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$10x-3y=-40,40x+3y=40$$

برای مساوی کردن 10x و 40x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 40 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 10 ضرب کنید.

$$40\times 10x+40\left(-3\right)y=40\left(-40\right),10\times 40x+10\times 3y=10\times 40$$

ساده کنید.

$$400x-120y=-1600,400x+30y=400$$

400x+30y=400 را از 400x-120y=-1600 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$400x-400x-120y-30y=-1600-400$$

400x را به -400x اضافه کنید. عبارت‌های 400x و -400x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-120y-30y=-1600-400$$

-120y را به -30y اضافه کنید.

$$-150y=-1600-400$$

-1600 را به -400 اضافه کنید.

$$-150y=-2000$$

هر دو طرف بر -150 تقسیم شوند.

$$y=\frac{40}{3}$$

\frac{40}{3} را با y در 40x+3y=40 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$40x+3\times \frac{40}{3}=40$$

3 بار \frac{40}{3}.

$$40x+40=40$$

40 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$40x=0$$

هر دو طرف بر 40 تقسیم شوند.

$$x=0$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=0,y=\frac{40}{3}$$