حل {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

مراحل استفاده از جایگزینی

دومین معادله را در نظر بگیرید. 3y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x+36-3y=0$$

36 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$x-3y=-36$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x+y=90$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-y+90$$

-y+90 را با x در معادله جایگزین کنید، x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

-y را به -3y اضافه کنید.

$$-4y+90=-36$$

90 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-4y=-126$$

هر دو طرف بر -4 تقسیم شوند.

$$y=\frac{63}{2}$$

\frac{63}{2} را با y در x=-y+90 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

90 را به -\frac{63}{2} اضافه کنید.

$$x=\frac{117}{2}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

مراحل استفاده از ماتریس

دومین معادله را در نظر بگیرید. 3y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x+36-3y=0$$

36 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$x-3y=-36$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس برابر است با \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، بنابراین معادله ماتریس را می‌توان به عنوان یک مسئله ضرب ماتریس بازنویسی کرد.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

مراحل استفاده از حذف

دومین معادله را در نظر بگیرید. 3y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x+36-3y=0$$

36 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$x-3y=-36$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

x-3y=-36 را از x+y=90 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$x-x+y+3y=90+36$$

x را به -x اضافه کنید. عبارت‌های x و -x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$y+3y=90+36$$

y را به 3y اضافه کنید.

$$4y=90+36$$

90 را به 36 اضافه کنید.

$$4y=126$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$y=\frac{63}{2}$$

\frac{63}{2} را با y در x-3y=-36 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

-3 بار \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

\frac{189}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{117}{2}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$