حل {l}{x+y=240}{0.12x+0.06y=240*0.08}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 0.12 x + 0.06 y = 240 \times 0.08 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=80$$

$$y=160$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x+y=240$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-y+240$$

-y+240 را با x در معادله جایگزین کنید، 0.12x+0.06y=19.2.

$$0.12\left(-y+240\right)+0.06y=19.2$$

0.12 بار -y+240.

$$-0.12y+28.8+0.06y=19.2$$

-\frac{3y}{25} را به \frac{3y}{50} اضافه کنید.

$$-0.06y+28.8=19.2$$

28.8 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-0.06y=-9.6$$

هر دو طرف معادله را بر -0.06 تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=160$$

160 را با y در x=-y+240 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-160+240$$

240 را به -160 اضافه کنید.

$$x=80$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=80,y=160$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-0.12}&-\frac{1}{0.06-0.12}\\-\frac{0.12}{0.06-0.12}&\frac{1}{0.06-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{50}{3}\\2&-\frac{50}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-240+\frac{50}{3}\times 19.2\\2\times 240-\frac{50}{3}\times 19.2\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\160\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=80,y=160$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

برای مساوی کردن x و \frac{3x}{25}، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 0.12 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 240,0.12x+0.06y=19.2$$

ساده کنید.

$$0.12x+0.12y=28.8,0.12x+0.06y=19.2$$

0.12x+0.06y=19.2 را از 0.12x+0.12y=28.8 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

\frac{3x}{25} را به -\frac{3x}{25} اضافه کنید. عبارت‌های \frac{3x}{25} و -\frac{3x}{25} با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

\frac{3y}{25} را به -\frac{3y}{50} اضافه کنید.

$$0.06y=\frac{144-96}{5}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، 28.8 را به -19.2 اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$0.06y=9.6$$

هر دو طرف معادله را بر 0.06 تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=160$$

160 را با y در 0.12x+0.06y=19.2 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$0.12x+0.06\times 160=19.2$$

0.06 بار 160.

$$0.12x+9.6=19.2$$

9.6 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$0.12x=9.6$$

هر دو طرف معادله را بر 0.12 تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$x=80$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=80,y=160$$