حل {l}{x+y=130}{20x+5y=1925}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=85$$

$$y=45$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x+y=130$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-y+130$$

-y+130 را با x در معادله جایگزین کنید، 20x+5y=1925.

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

20 بار -y+130.

$$-20y+2600+5y=1925$$

-20y را به 5y اضافه کنید.

$$-15y+2600=1925$$

2600 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-15y=-675$$

هر دو طرف بر -15 تقسیم شوند.

$$y=45$$

45 را با y در x=-y+130 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-45+130$$

130 را به -45 اضافه کنید.

$$x=85$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=85,y=45$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=85,y=45$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

برای مساوی کردن x و 20x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 20 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

ساده کنید.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

20x+5y=1925 را از 20x+20y=2600 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

20x را به -20x اضافه کنید. عبارت‌های 20x و -20x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$20y-5y=2600-1925$$

20y را به -5y اضافه کنید.

$$15y=2600-1925$$

2600 را به -1925 اضافه کنید.

$$15y=675$$

هر دو طرف بر 15 تقسیم شوند.

$$y=45$$

45 را با y در 20x+5y=1925 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$20x+5\times 45=1925$$

5 بار 45.

$$20x+225=1925$$

225 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$20x=1700$$

هر دو طرف بر 20 تقسیم شوند.

$$x=85$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=85,y=45$$