حل {l}{x+y=100}{60x+70y=630}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 630 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=637$$

$$y=-537$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x+y=100$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-y+100$$

-y+100 را با x در معادله جایگزین کنید، 60x+70y=630.

$$60\left(-y+100\right)+70y=630$$

60 بار -y+100.

$$-60y+6000+70y=630$$

-60y را به 70y اضافه کنید.

$$10y+6000=630$$

6000 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$10y=-5370$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$y=-537$$

-537 را با y در x=-y+100 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\left(-537\right)+100$$

-1 بار -537.

$$x=537+100$$

100 را به 537 اضافه کنید.

$$x=637$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=637,y=-537$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 630\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 630\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}637\\-537\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=637,y=-537$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

برای مساوی کردن x و 60x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 60 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=630$$

ساده کنید.

$$60x+60y=6000,60x+70y=630$$

60x+70y=630 را از 60x+60y=6000 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$60x-60x+60y-70y=6000-630$$

60x را به -60x اضافه کنید. عبارت‌های 60x و -60x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$60y-70y=6000-630$$

60y را به -70y اضافه کنید.

$$-10y=6000-630$$

6000 را به -630 اضافه کنید.

$$-10y=5370$$

هر دو طرف بر -10 تقسیم شوند.

$$y=-537$$

-537 را با y در 60x+70y=630 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$60x+70\left(-537\right)=630$$

70 بار -537.

$$60x-37590=630$$

37590 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$60x=38220$$

هر دو طرف بر 60 تقسیم شوند.

$$x=637$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=637,y=-537$$