حل {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$12bx-15y=-4$$

15y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$12bx=15y-4$$

هر دو طرف بر 12b تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

\frac{1}{12b} بار 15y-4.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

\frac{-4+15y}{12b} را با x در معادله جایگزین کنید، 16x+10y=7.

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

16 بار \frac{-4+15y}{12b}.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

\frac{20y}{b} را به 10y اضافه کنید.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

\frac{16}{3b} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

هر دو طرف بر \frac{20}{b}+10 تقسیم شوند.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

\frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} را با y در x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

\frac{5}{4b} بار \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

-\frac{1}{3b} را به \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)} اضافه کنید.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

برای مساوی کردن 12bx و 16x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 16 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 12b ضرب کنید.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

ساده کنید.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

192bx+120by=84b را از 192bx-240y=-64 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

192bx را به -192bx اضافه کنید. عبارت‌های 192bx و -192bx با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

-240y را به -120by اضافه کنید.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

-64 را به -84b اضافه کنید.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

هر دو طرف بر -240-120b تقسیم شوند.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

\frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} را با y در 16x+10y=7 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

10 بار \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

\frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

هر دو طرف بر 16 تقسیم شوند.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$