حل {l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$80x+160y=4$$

160y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$80x=-160y+4$$

هر دو طرف بر 80 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

\frac{1}{80} بار -160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

-2y+\frac{1}{20} را با x در معادله جایگزین کنید، 5600x+5600y=5536.

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

5600 بار -2y+\frac{1}{20}.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

-11200y را به 5600y اضافه کنید.

$$-5600y+280=5536$$

280 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-5600y=5256$$

هر دو طرف بر -5600 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{657}{700}$$

-\frac{657}{700} را با y در x=-2y+\frac{1}{20} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

-2 بار -\frac{657}{700}.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{20} را به \frac{657}{350} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=\frac{1349}{700}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

برای مساوی کردن 80x و 5600x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 5600 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 80 ضرب کنید.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

ساده کنید.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

448000x+448000y=442880 را از 448000x+896000y=22400 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

448000x را به -448000x اضافه کنید. عبارت‌های 448000x و -448000x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

896000y را به -448000y اضافه کنید.

$$448000y=22400-442880$$

22400 را به -442880 اضافه کنید.

$$448000y=-420480$$

هر دو طرف بر 448000 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{657}{700}$$

-\frac{657}{700} را با y در 5600x+5600y=5536 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

5600 بار -\frac{657}{700}.

$$5600x-5256=5536$$

5256 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5600x=10792$$

هر دو طرف بر 5600 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1349}{700}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$