حل {l}{6x+5y=100}{15x+20y=310}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 100 } \\ { 15 x + 20 y = 310 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=10$$

$$y=8$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$6x+5y=100,15x+20y=310$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$6x+5y=100$$

5y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$6x=-5y+100$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+100\right)$$

\frac{1}{6} بار -5y+100.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{50}{3}$$

-\frac{5y}{6}+\frac{50}{3} را با x در معادله جایگزین کنید، 15x+20y=310.

$$15\left(-\frac{5}{6}y+\frac{50}{3}\right)+20y=310$$

15 بار -\frac{5y}{6}+\frac{50}{3}.

$$-\frac{25}{2}y+250+20y=310$$

-\frac{25y}{2} را به 20y اضافه کنید.

$$\frac{15}{2}y+250=310$$

250 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{15}{2}y=60$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{15}{2} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=8$$

8 را با y در x=-\frac{5}{6}y+\frac{50}{3} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{5}{6}\times 8+\frac{50}{3}$$

-\frac{5}{6} بار 8.

$$x=\frac{-20+50}{3}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{50}{3} را به -\frac{20}{3} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=10$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=10,y=8$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$6x+5y=100,15x+20y=310$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\15&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\310\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}6&5\\15&20\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\15&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\15&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\15&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\310\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\15&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\310\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\15&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\310\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{6\times 20-5\times 15}&-\frac{5}{6\times 20-5\times 15}\\-\frac{15}{6\times 20-5\times 15}&\frac{6}{6\times 20-5\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\310\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\310\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\times 100-\frac{1}{9}\times 310\\-\frac{1}{3}\times 100+\frac{2}{15}\times 310\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=10,y=8$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$6x+5y=100,15x+20y=310$$

برای مساوی کردن 6x و 15x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 15 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 6 ضرب کنید.

$$15\times 6x+15\times 5y=15\times 100,6\times 15x+6\times 20y=6\times 310$$

ساده کنید.

$$90x+75y=1500,90x+120y=1860$$

90x+120y=1860 را از 90x+75y=1500 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$90x-90x+75y-120y=1500-1860$$

90x را به -90x اضافه کنید. عبارت‌های 90x و -90x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$75y-120y=1500-1860$$

75y را به -120y اضافه کنید.

$$-45y=1500-1860$$

1500 را به -1860 اضافه کنید.

$$-45y=-360$$

هر دو طرف بر -45 تقسیم شوند.

$$y=8$$

8 را با y در 15x+20y=310 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$15x+20\times 8=310$$

20 بار 8.

$$15x+160=310$$

160 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$15x=150$$

هر دو طرف بر 15 تقسیم شوند.

$$x=10$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=10,y=8$$