حل {l}{5x-3y=10}{6y=kx-42}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 10 } \\ { 6 y = k x - 42 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=\frac{22}{k-10}$$

$$y=-\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(k-10\right)}$$

$$k\neq 10$$

مراحل استفاده از جایگزینی

دومین معادله را در نظر بگیرید. kx را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6y-kx=-42$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$5x-3y=10$$

3y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x=3y+10$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+10\right)$$

\frac{1}{5} بار 3y+10.

$$x=\frac{3}{5}y+2$$

\frac{3y}{5}+2 را با x در معادله جایگزین کنید، \left(-k\right)x+6y=-42.

$$\left(-k\right)\left(\frac{3}{5}y+2\right)+6y=-42$$

-k بار \frac{3y}{5}+2.

$$\left(-\frac{3k}{5}\right)y-2k+6y=-42$$

-\frac{3ky}{5} را به 6y اضافه کنید.

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y-2k=-42$$

2k را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y=2k-42$$

هر دو طرف بر -\frac{3k}{5}+6 تقسیم شوند.

$$y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

\frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)} را با y در x=\frac{3}{5}y+2 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}+2$$

\frac{3}{5} بار \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)}.

$$x=\frac{2\left(k-21\right)}{10-k}+2$$

2 را به \frac{2\left(-21+k\right)}{-k+10} اضافه کنید.

$$x=-\frac{22}{10-k}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{22}{10-k},y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

مراحل استفاده از ماتریس

دومین معادله را در نظر بگیرید. kx را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6y-kx=-42$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\\-\frac{-k}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&\frac{5}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}&\frac{1}{10-k}\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}&\frac{5}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}\times 10+\frac{1}{10-k}\left(-42\right)\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}\times 10+\frac{5}{3\left(10-k\right)}\left(-42\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{10-k}\\-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=-\frac{22}{10-k},y=-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}$$

مراحل استفاده از حذف

دومین معادله را در نظر بگیرید. kx را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6y-kx=-42$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

برای مساوی کردن 5x و -kx، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -k و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 5 ضرب کنید.

$$\left(-k\right)\times 5x+\left(-k\right)\left(-3\right)y=\left(-k\right)\times 10,5\left(-k\right)x+5\times 6y=5\left(-42\right)$$

ساده کنید.

$$\left(-5k\right)x+3ky=-10k,\left(-5k\right)x+30y=-210$$

\left(-5k\right)x+30y=-210 را از \left(-5k\right)x+3ky=-10k با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$\left(-5k\right)x+5kx+3ky-30y=-10k+210$$

-5kx را به 5kx اضافه کنید. عبارت‌های -5kx و 5kx با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$3ky-30y=-10k+210$$

3ky را به -30y اضافه کنید.

$$\left(3k-30\right)y=-10k+210$$

-10k را به 210 اضافه کنید.

$$\left(3k-30\right)y=210-10k$$

هر دو طرف بر -30+3k تقسیم شوند.

$$y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$

\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)} را با y در \left(-k\right)x+6y=-42 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$\left(-k\right)x+6\times \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}=-42$$

6 بار \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)}.

$$\left(-k\right)x+\frac{20\left(21-k\right)}{k-10}=-42$$

\frac{20\left(21-k\right)}{-10+k} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\left(-k\right)x=-\frac{22k}{k-10}$$

هر دو طرف بر -k تقسیم شوند.

$$x=\frac{22}{k-10}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{22}{k-10},y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$