حل {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=4$$

$$y=2$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. 2y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x-2y=16$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. 2y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$7x+2y=32$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$5x-2y=16$$

2y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x=2y+16$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

\frac{1}{5} بار 16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

\frac{16+2y}{5} را با x در معادله جایگزین کنید، 7x+2y=32.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

7 بار \frac{16+2y}{5}.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

\frac{14y}{5} را به 2y اضافه کنید.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

\frac{112}{5} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{24}{5} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=2$$

2 را با y در x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

\frac{2}{5} بار 2.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{16}{5} را به \frac{4}{5} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=4$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=4,y=2$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. 2y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x-2y=16$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. 2y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$7x+2y=32$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=4,y=2$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. 2y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x-2y=16$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. 2y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$7x+2y=32$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

برای مساوی کردن 5x و 7x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 7 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 5 ضرب کنید.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

ساده کنید.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

35x+10y=160 را از 35x-14y=112 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

35x را به -35x اضافه کنید. عبارت‌های 35x و -35x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-14y-10y=112-160$$

-14y را به -10y اضافه کنید.

$$-24y=112-160$$

112 را به -160 اضافه کنید.

$$-24y=-48$$

هر دو طرف بر -24 تقسیم شوند.

$$y=2$$

2 را با y در 7x+2y=32 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$7x+2\times 2=32$$

2 بار 2.

$$7x+4=32$$

4 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$7x=28$$

هر دو طرف بر 7 تقسیم شوند.

$$x=4$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=4,y=2$$