حل {l}{41x+53y=135}{53x+41y=147}

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=2$$

$$y=1$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$41x+53y=135$$

53y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$41x=-53y+135$$

هر دو طرف بر 41 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

\frac{1}{41} بار -53y+135.

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

\frac{-53y+135}{41} را با x در معادله جایگزین کنید، 53x+41y=147.

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

53 بار \frac{-53y+135}{41}.

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

-\frac{2809y}{41} را به 41y اضافه کنید.

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

\frac{7155}{41} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{1128}{41} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=1$$

1 را با y در x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{135}{41} را به -\frac{53}{41} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=2$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=2,y=1$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=2,y=1$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

برای مساوی کردن 41x و 53x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 53 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 41 ضرب کنید.

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

ساده کنید.

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

2173x+1681y=6027 را از 2173x+2809y=7155 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

2173x را به -2173x اضافه کنید. عبارت‌های 2173x و -2173x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$2809y-1681y=7155-6027$$

2809y را به -1681y اضافه کنید.

$$1128y=7155-6027$$

7155 را به -6027 اضافه کنید.

$$1128y=1128$$

هر دو طرف بر 1128 تقسیم شوند.

$$y=1$$

1 را با y در 53x+41y=147 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$53x+41=147$$

41 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$53x=106$$

هر دو طرف بر 53 تقسیم شوند.

$$x=2$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=2,y=1$$