حل {l}{40x+30y=500}{60x+15y=60}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 60 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = -\frac{19}{4} = -4\frac{3}{4} = -4.75$$

$$y=23$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$40x+30y=500$$

30y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$40x=-30y+500$$

هر دو طرف بر 40 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

\frac{1}{40} بار -30y+500.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

-\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} را با x در معادله جایگزین کنید، 60x+15y=60.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=60$$

60 بار -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}.

$$-45y+750+15y=60$$

-45y را به 15y اضافه کنید.

$$-30y+750=60$$

750 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-30y=-690$$

هر دو طرف بر -30 تقسیم شوند.

$$y=23$$

23 را با y در x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{3}{4}\times 23+\frac{25}{2}$$

-\frac{3}{4} بار 23.

$$x=-\frac{69}{4}+\frac{25}{2}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{25}{2} را به -\frac{69}{4} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=-\frac{19}{4}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 60\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 60\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{4}\\23\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

برای مساوی کردن 40x و 60x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 60 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 40 ضرب کنید.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 60$$

ساده کنید.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=2400$$

2400x+600y=2400 را از 2400x+1800y=30000 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-2400$$

2400x را به -2400x اضافه کنید. عبارت‌های 2400x و -2400x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$1800y-600y=30000-2400$$

1800y را به -600y اضافه کنید.

$$1200y=30000-2400$$

30000 را به -2400 اضافه کنید.

$$1200y=27600$$

هر دو طرف بر 1200 تقسیم شوند.

$$y=23$$

23 را با y در 60x+15y=60 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$60x+15\times 23=60$$

15 بار 23.

$$60x+345=60$$

345 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$60x=-285$$

هر دو طرف بر 60 تقسیم شوند.

$$x=-\frac{19}{4}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$