حل {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=45$$

$$y=-165$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$4x+y=15$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x=-y+15$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

\frac{1}{4} بار -y+15.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

\frac{-y+15}{4} را با x در معادله جایگزین کنید، 19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

19 بار \frac{-y+15}{4}.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

-\frac{19y}{4} را به 5y اضافه کنید.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

\frac{285}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

هر دو طرف در 4 ضرب شوند.

$$y=-165$$

-165 را با y در x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

-\frac{1}{4} بار -165.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{15}{4} را به \frac{165}{4} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=45$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=45,y=-165$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=45,y=-165$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

برای مساوی کردن 4x و 19x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 19 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 4 ضرب کنید.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

ساده کنید.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

76x+20y=120 را از 76x+19y=285 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

76x را به -76x اضافه کنید. عبارت‌های 76x و -76x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$19y-20y=285-120$$

19y را به -20y اضافه کنید.

$$-y=285-120$$

285 را به -120 اضافه کنید.

$$-y=165$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$y=-165$$

-165 را با y در 19x+5y=30 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

5 بار -165.

$$19x-825=30$$

825 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$19x=855$$

هر دو طرف بر 19 تقسیم شوند.

$$x=45$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=45,y=-165$$