حل {l}{4=3A-9D}{2=8A-8D}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 = 3 A - 9 D } \\ { 2 = 8 A - 8 D } \end{array} \right.$$

برای A،D حل کنید

$$A=-\frac{7}{24}\approx -0.291666667$$

$$D=-\frac{13}{24}\approx -0.541666667$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$3A-9D=4$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$8A-8D=2$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن A در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، A را به دست آورید.

$$3A-9D=4$$

9D را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3A=9D+4$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$A=\frac{1}{3}\left(9D+4\right)$$

\frac{1}{3} بار 9D+4.

$$A=3D+\frac{4}{3}$$

3D+\frac{4}{3} را با A در معادله جایگزین کنید، 8A-8D=2.

$$8\left(3D+\frac{4}{3}\right)-8D=2$$

8 بار 3D+\frac{4}{3}.

$$24D+\frac{32}{3}-8D=2$$

24D را به -8D اضافه کنید.

$$16D+\frac{32}{3}=2$$

\frac{32}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$16D=-\frac{26}{3}$$

هر دو طرف بر 16 تقسیم شوند.

$$D=-\frac{13}{24}$$

-\frac{13}{24} را با D در A=3D+\frac{4}{3} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای A حل کنید.

$$A=3\left(-\frac{13}{24}\right)+\frac{4}{3}$$

3 بار -\frac{13}{24}.

$$A=-\frac{13}{8}+\frac{4}{3}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{4}{3} را به -\frac{13}{8} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$A=-\frac{7}{24}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$3A-9D=4$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$8A-8D=2$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 4+\frac{3}{16}\times 2\\-\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\\-\frac{13}{24}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس A و D را استخراج کنید.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$3A-9D=4$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$8A-8D=2$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

برای مساوی کردن 3A و 8A، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 8 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 3 ضرب کنید.

$$8\times 3A+8\left(-9\right)D=8\times 4,3\times 8A+3\left(-8\right)D=3\times 2$$

ساده کنید.

$$24A-72D=32,24A-24D=6$$

24A-24D=6 را از 24A-72D=32 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$24A-24A-72D+24D=32-6$$

24A را به -24A اضافه کنید. عبارت‌های 24A و -24A با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-72D+24D=32-6$$

-72D را به 24D اضافه کنید.

$$-48D=32-6$$

32 را به -6 اضافه کنید.

$$-48D=26$$

هر دو طرف بر -48 تقسیم شوند.

$$D=-\frac{13}{24}$$

-\frac{13}{24} را با D در 8A-8D=2 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای A حل کنید.

$$8A-8\left(-\frac{13}{24}\right)=2$$

-8 بار -\frac{13}{24}.

$$8A+\frac{13}{3}=2$$

\frac{13}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$8A=-\frac{7}{3}$$

هر دو طرف بر 8 تقسیم شوند.

$$A=-\frac{7}{24}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$