حل {l}{342=23m+b}{147=10m+b}

$$\left. \begin{array} { l } { 342 = 23 m + b } \\ { 147 = 10 m + b } \end{array} \right.$$

برای m،b حل کنید

$$m=15$$

$$b=-3$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$23m+b=342$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$10m+b=147$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن m در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، m را به دست آورید.

$$23m+b=342$$

b را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$23m=-b+342$$

هر دو طرف بر 23 تقسیم شوند.

$$m=\frac{1}{23}\left(-b+342\right)$$

\frac{1}{23} بار -b+342.

$$m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}$$

\frac{-b+342}{23} را با m در معادله جایگزین کنید، 10m+b=147.

$$10\left(-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}\right)+b=147$$

10 بار \frac{-b+342}{23}.

$$-\frac{10}{23}b+\frac{3420}{23}+b=147$$

-\frac{10b}{23} را به b اضافه کنید.

$$\frac{13}{23}b+\frac{3420}{23}=147$$

\frac{3420}{23} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{13}{23}b=-\frac{39}{23}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{13}{23} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$b=-3$$

-3 را با b در m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای m حل کنید.

$$m=-\frac{1}{23}\left(-3\right)+\frac{342}{23}$$

-\frac{1}{23} بار -3.

$$m=\frac{3+342}{23}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{342}{23} را به \frac{3}{23} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$m=15$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$m=15,b=-3$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$23m+b=342$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$10m+b=147$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23-10}&-\frac{1}{23-10}\\-\frac{10}{23-10}&\frac{23}{23-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{10}{13}&\frac{23}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 342-\frac{1}{13}\times 147\\-\frac{10}{13}\times 342+\frac{23}{13}\times 147\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس m و b را استخراج کنید.

$$m=15,b=-3$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$23m+b=342$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$10m+b=147$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

10m+b=147 را از 23m+b=342 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$23m-10m+b-b=342-147$$

b را به -b اضافه کنید. عبارت‌های b و -b با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$23m-10m=342-147$$

23m را به -10m اضافه کنید.

$$13m=342-147$$

342 را به -147 اضافه کنید.

$$13m=195$$

هر دو طرف بر 13 تقسیم شوند.

$$m=15$$

15 را با m در 10m+b=147 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای b حل کنید.

$$10\times 15+b=147$$

10 بار 15.

$$150+b=147$$

150 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$b=-3$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$m=15,b=-3$$