حل {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

برای y،x حل کنید

$$x=10$$

$$y=7$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن y در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، y را به دست آورید.

$$3y+x=31$$

x را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3y=-x+31$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

\frac{1}{3} بار -x+31.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

\frac{-x+31}{3} را با y در معادله جایگزین کنید، 2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

2 بار \frac{-x+31}{3}.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

-\frac{2x}{3} را به 3x اضافه کنید.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

\frac{62}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{7}{3} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$x=10$$

10 را با x در y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

-\frac{1}{3} بار 10.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{31}{3} را به -\frac{10}{3} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$y=7$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=7,x=10$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس y و x را استخراج کنید.

$$y=7,x=10$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

برای مساوی کردن 3y و 2y، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 2 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 3 ضرب کنید.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

ساده کنید.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

6y+9x=132 را از 6y+2x=62 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

6y را به -6y اضافه کنید. عبارت‌های 6y و -6y با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$2x-9x=62-132$$

2x را به -9x اضافه کنید.

$$-7x=62-132$$

62 را به -132 اضافه کنید.

$$-7x=-70$$

هر دو طرف بر -7 تقسیم شوند.

$$x=10$$

10 را با x در 2y+3x=44 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$2y+3\times 10=44$$

3 بار 10.

$$2y+30=44$$

30 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2y=14$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$y=7$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=7,x=10$$