حل {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

برای A،c حل کنید

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن A در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، A را به دست آورید.

$$3A-13c=-255$$

13c را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3A=13c-255$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

\frac{1}{3} بار 13c-255.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

\frac{13c}{3}-85 را با A در معادله جایگزین کنید، 31A-6c=-180.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

31 بار \frac{13c}{3}-85.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

\frac{403c}{3} را به -6c اضافه کنید.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

2635 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{385}{3} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$c=\frac{1473}{77}$$

\frac{1473}{77} را با c در A=\frac{13}{3}c-85 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای A حل کنید.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{13}{3} را در \frac{1473}{77} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

-85 را به \frac{6383}{77} اضافه کنید.

$$A=-\frac{162}{77}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس A و c را استخراج کنید.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

برای مساوی کردن 3A و 31A، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 31 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 3 ضرب کنید.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

ساده کنید.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

93A-18c=-540 را از 93A-403c=-7905 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

93A را به -93A اضافه کنید. عبارت‌های 93A و -93A با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-403c+18c=-7905+540$$

-403c را به 18c اضافه کنید.

$$-385c=-7905+540$$

-7905 را به 540 اضافه کنید.

$$-385c=-7365$$

هر دو طرف بر -385 تقسیم شوند.

$$c=\frac{1473}{77}$$

\frac{1473}{77} را با c در 31A-6c=-180 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای A حل کنید.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

-6 بار \frac{1473}{77}.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

\frac{8838}{77} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

هر دو طرف بر 31 تقسیم شوند.

$$A=-\frac{162}{77}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$