حل {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

برای c،T حل کنید

$$c=3000$$

$$T=3500$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن c در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، c را به دست آورید.

$$25c+22T=152000$$

22T را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$25c=-22T+152000$$

هر دو طرف بر 25 تقسیم شوند.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

\frac{1}{25} بار -22T+152000.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

-\frac{22T}{25}+6080 را با c در معادله جایگزین کنید، 11c+12T=75000.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

11 بار -\frac{22T}{25}+6080.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

-\frac{242T}{25} را به 12T اضافه کنید.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

66880 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{58}{25} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$T=3500$$

3500 را با T در c=-\frac{22}{25}T+6080 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای c حل کنید.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

-\frac{22}{25} بار 3500.

$$c=-3080+6080$$

6080 را به -3080 اضافه کنید.

$$c=3000$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$c=3000,T=3500$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس c و T را استخراج کنید.

$$c=3000,T=3500$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

برای مساوی کردن 25c و 11c، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 11 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 25 ضرب کنید.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

ساده کنید.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

275c+300T=1875000 را از 275c+242T=1672000 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

275c را به -275c اضافه کنید. عبارت‌های 275c و -275c با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

242T را به -300T اضافه کنید.

$$-58T=1672000-1875000$$

1672000 را به -1875000 اضافه کنید.

$$-58T=-203000$$

هر دو طرف بر -58 تقسیم شوند.

$$T=3500$$

3500 را با T در 11c+12T=75000 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای c حل کنید.

$$11c+12\times 3500=75000$$

12 بار 3500.

$$11c+42000=75000$$

42000 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$11c=33000$$

هر دو طرف بر 11 تقسیم شوند.

$$c=3000$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$c=3000,T=3500$$