حل {l}{2x-5y=100}{4x+y=120}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 100 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = \frac{350}{11} = 31\frac{9}{11} \approx 31.818181818$$

$$y = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$2x-5y=100$$

5y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x=5y+100$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+100\right)$$

\frac{1}{2} بار 100+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+50$$

50+\frac{5y}{2} را با x در معادله جایگزین کنید، 4x+y=120.

$$4\left(\frac{5}{2}y+50\right)+y=120$$

4 بار 50+\frac{5y}{2}.

$$10y+200+y=120$$

10y را به y اضافه کنید.

$$11y+200=120$$

200 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$11y=-80$$

هر دو طرف بر 11 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{80}{11}$$

-\frac{80}{11} را با y در x=\frac{5}{2}y+50 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{80}{11}\right)+50$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{5}{2} را در -\frac{80}{11} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x=-\frac{200}{11}+50$$

50 را به -\frac{200}{11} اضافه کنید.

$$x=\frac{350}{11}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس برابر است با \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، بنابراین معادله ماتریس را می‌توان به عنوان یک مسئله ضرب ماتریس بازنویسی کرد.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 100+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 100+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{350}{11}\\-\frac{80}{11}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

برای مساوی کردن 2x و 4x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 4 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 2 ضرب کنید.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 100,2\times 4x+2y=2\times 120$$

ساده کنید.

$$8x-20y=400,8x+2y=240$$

8x+2y=240 را از 8x-20y=400 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$8x-8x-20y-2y=400-240$$

8x را به -8x اضافه کنید. عبارت‌های 8x و -8x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-20y-2y=400-240$$

-20y را به -2y اضافه کنید.

$$-22y=400-240$$

400 را به -240 اضافه کنید.

$$-22y=160$$

هر دو طرف بر -22 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{80}{11}$$

-\frac{80}{11} را با y در 4x+y=120 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$4x-\frac{80}{11}=120$$

\frac{80}{11} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4x=\frac{1400}{11}$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$x=\frac{350}{11}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$