حل {l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

برای X،Y حل کنید

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. 2 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{1}{2} و 2 را برای دریافت \frac{5}{2} اضافه کنید.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 8 در Y-\frac{1}{2} استفاده کنید.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

از اموال توزیعی برای ضرب 9 در X+1 استفاده کنید.

$$8Y-4=9X+9-4$$

تفریق 4 را از 9 برای به دست آوردن 5 تفریق کنید.

$$8Y-4=9X+5$$

9X را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$8Y-4-9X=5$$

4 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$8Y-9X=5+4$$

5 و 4 را برای دریافت 9 اضافه کنید.

$$8Y-9X=9$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن X در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، X را به دست آورید.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

4Y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

\frac{1}{2} بار -4Y+\frac{5}{2}.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

-2Y+\frac{5}{4} را با X در معادله جایگزین کنید، -9X+8Y=9.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

-9 بار -2Y+\frac{5}{4}.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

18Y را به 8Y اضافه کنید.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

\frac{45}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

هر دو طرف بر 26 تقسیم شوند.

$$Y=\frac{81}{104}$$

\frac{81}{104} را با Y در X=-2Y+\frac{5}{4} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای X حل کنید.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

-2 بار \frac{81}{104}.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{5}{4} را به -\frac{81}{52} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$X=-\frac{4}{13}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. 2 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{1}{2} و 2 را برای دریافت \frac{5}{2} اضافه کنید.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 8 در Y-\frac{1}{2} استفاده کنید.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

از اموال توزیعی برای ضرب 9 در X+1 استفاده کنید.

$$8Y-4=9X+9-4$$

تفریق 4 را از 9 برای به دست آوردن 5 تفریق کنید.

$$8Y-4=9X+5$$

9X را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$8Y-4-9X=5$$

4 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$8Y-9X=5+4$$

5 و 4 را برای دریافت 9 اضافه کنید.

$$8Y-9X=9$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس X و Y را استخراج کنید.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. 2 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{1}{2} و 2 را برای دریافت \frac{5}{2} اضافه کنید.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 8 در Y-\frac{1}{2} استفاده کنید.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

از اموال توزیعی برای ضرب 9 در X+1 استفاده کنید.

$$8Y-4=9X+9-4$$

تفریق 4 را از 9 برای به دست آوردن 5 تفریق کنید.

$$8Y-4=9X+5$$

9X را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$8Y-4-9X=5$$

4 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$8Y-9X=5+4$$

5 و 4 را برای دریافت 9 اضافه کنید.

$$8Y-9X=9$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

برای مساوی کردن 2X و -9X، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -9 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 2 ضرب کنید.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

ساده کنید.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

-18X+16Y=18 را از -18X-36Y=-\frac{45}{2} با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

-18X را به 18X اضافه کنید. عبارت‌های -18X و 18X با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

-36Y را به -16Y اضافه کنید.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

-\frac{45}{2} را به -18 اضافه کنید.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

هر دو طرف بر -52 تقسیم شوند.

$$Y=\frac{81}{104}$$

\frac{81}{104} را با Y در -9X+8Y=9 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای X حل کنید.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

8 بار \frac{81}{104}.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

\frac{81}{13} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

هر دو طرف بر -9 تقسیم شوند.

$$X=-\frac{4}{13}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$