حل {l}{18=1200x+1600y}{17=600x+2400y}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 = 1200 x + 1600 y } \\ { 17 = 600 x + 2400 y } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=\frac{1}{120}\approx 0.008333333$$

$$y=\frac{1}{200}=0.005$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$1200x+1600y=18$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$600x+2400y=17$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$1200x+1600y=18$$

1600y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$1200x=-1600y+18$$

هر دو طرف بر 1200 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1600y+18\right)$$

\frac{1}{1200} بار -1600y+18.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}$$

-\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} را با x در معادله جایگزین کنید، 600x+2400y=17.

$$600\left(-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}\right)+2400y=17$$

600 بار -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200}.

$$-800y+9+2400y=17$$

-800y را به 2400y اضافه کنید.

$$1600y+9=17$$

9 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$1600y=8$$

هر دو طرف بر 1600 تقسیم شوند.

$$y=\frac{1}{200}$$

\frac{1}{200} را با y در x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{200}+\frac{3}{200}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{4}{3} را در \frac{1}{200} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x=-\frac{1}{150}+\frac{3}{200}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{3}{200} را به -\frac{1}{150} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=\frac{1}{120}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$1200x+1600y=18$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$600x+2400y=17$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2400}{1200\times 2400-1600\times 600}&-\frac{1600}{1200\times 2400-1600\times 600}\\-\frac{600}{1200\times 2400-1600\times 600}&\frac{1200}{1200\times 2400-1600\times 600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}&-\frac{1}{1200}\\-\frac{1}{3200}&\frac{1}{1600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}\times 18-\frac{1}{1200}\times 17\\-\frac{1}{3200}\times 18+\frac{1}{1600}\times 17\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{120}\\\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$1200x+1600y=18$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$600x+2400y=17$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

برای مساوی کردن 1200x و 600x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 600 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1200 ضرب کنید.

$$600\times 1200x+600\times 1600y=600\times 18,1200\times 600x+1200\times 2400y=1200\times 17$$

ساده کنید.

$$720000x+960000y=10800,720000x+2880000y=20400$$

720000x+2880000y=20400 را از 720000x+960000y=10800 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$720000x-720000x+960000y-2880000y=10800-20400$$

720000x را به -720000x اضافه کنید. عبارت‌های 720000x و -720000x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$960000y-2880000y=10800-20400$$

960000y را به -2880000y اضافه کنید.

$$-1920000y=10800-20400$$

10800 را به -20400 اضافه کنید.

$$-1920000y=-9600$$

هر دو طرف بر -1920000 تقسیم شوند.

$$y=\frac{1}{200}$$

\frac{1}{200} را با y در 600x+2400y=17 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$600x+2400\times \frac{1}{200}=17$$

2400 بار \frac{1}{200}.

$$600x+12=17$$

12 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$600x=5$$

هر دو طرف بر 600 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{120}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$