حل {l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$15x+107y=1$$

107y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$15x=-107y+1$$

هر دو طرف بر 15 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

\frac{1}{15} بار -107y+1.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

\frac{-107y+1}{15} را با x در معادله جایگزین کنید، 71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

71 بار \frac{-107y+1}{15}.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

-\frac{7597y}{15} را به 179y اضافه کنید.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

\frac{71}{15} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{4912}{15} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=\frac{547}{614}$$

\frac{547}{614} را با y در x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{107}{15} را در \frac{547}{614} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{15} را به -\frac{58529}{9210} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

برای مساوی کردن 15x و 71x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 71 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 15 ضرب کنید.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

ساده کنید.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

1065x+2685y=-4305 را از 1065x+7597y=71 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

1065x را به -1065x اضافه کنید. عبارت‌های 1065x و -1065x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$7597y-2685y=71+4305$$

7597y را به -2685y اضافه کنید.

$$4912y=71+4305$$

71 را به 4305 اضافه کنید.

$$4912y=4376$$

هر دو طرف بر 4912 تقسیم شوند.

$$y=\frac{547}{614}$$

\frac{547}{614} را با y در 71x+179y=-287 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

179 بار \frac{547}{614}.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

\frac{97913}{614} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

هر دو طرف بر 71 تقسیم شوند.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$