حل {l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

برای x_3،x_2 حل کنید

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x_{3} در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x_{3} را به دست آورید.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

\frac{4x_{2}}{25} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

هر دو طرف معادله را بر 0.041 تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

\frac{1000}{41} بار -\frac{4x_{2}}{25}+0.9.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

\frac{-160x_{2}+900}{41} را با x_{3} در معادله جایگزین کنید، -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117.

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

-0.002 بار \frac{-160x_{2}+900}{41}.

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{8x_{2}}{1025} را به \frac{41x_{2}}{1000} اضافه کنید.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

\frac{9}{205} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{2001}{41000} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

\frac{2199}{667} را با x_{2} در x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x_{3} حل کنید.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{160}{41} را در \frac{2199}{667} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{900}{41} را به -\frac{351840}{27347} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x_{3} و x_{2} را استخراج کنید.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

برای مساوی کردن \frac{41x_{3}}{1000} و -\frac{x_{3}}{500}، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -0.002 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 0.041 ضرب کنید.

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

ساده کنید.

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797 را از -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

-\frac{41x_{3}}{500000} را به \frac{41x_{3}}{500000} اضافه کنید. عبارت‌های -\frac{41x_{3}}{500000} و \frac{41x_{3}}{500000} با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

-\frac{x_{2}}{3125} را به -\frac{1681x_{2}}{1000000} اضافه کنید.

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -0.0018 را به -0.004797 اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

هر دو طرف معادله را بر -0.002001 تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

\frac{2199}{667} را با x_{2} در -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x_{3} حل کنید.

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، 0.041 را در \frac{2199}{667} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

\frac{90159}{667000} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

هر دو طرف در -500 ضرب شوند.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$