حل {l}{0.04x+0.02y=5}{0.5(x-2)-0.4y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.04 x + 0.02 y = 5 } \\ { 0.5 ( x - 2 ) - 0.4 y = 29 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=100$$

$$y=50$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$0.04x+0.02y=5$$

\frac{y}{50} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$0.04x=-0.02y+5$$

هر دو طرف در 25 ضرب شوند.

$$x=25\left(-0.02y+5\right)$$

25 بار -\frac{y}{50}+5.

$$x=-0.5y+125$$

-\frac{y}{2}+125 را با x در معادله جایگزین کنید، 0.5\left(x-2\right)-0.4y=29.

$$0.5\left(-0.5y+125-2\right)-0.4y=29$$

125 را به -2 اضافه کنید.

$$0.5\left(-0.5y+123\right)-0.4y=29$$

0.5 بار -\frac{y}{2}+123.

$$-0.25y+61.5-0.4y=29$$

-\frac{y}{4} را به -\frac{2y}{5} اضافه کنید.

$$-0.65y+61.5=29$$

61.5 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-0.65y=-32.5$$

هر دو طرف معادله را بر -0.65 تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=50$$

50 را با y در x=-0.5y+125 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-0.5\times 50+125$$

-0.5 بار 50.

$$x=-25+125$$

125 را به -25 اضافه کنید.

$$x=100$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=100,y=50$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

دومین معادله را با قرار دادن آن در قالب استاندارد ساده کنید.

$$0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

0.5 بار x-2.

$$0.5x-1-0.4y=29$$

1 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$0.5x-0.4y=30$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&-\frac{0.02}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\\-\frac{0.5}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&\frac{0.04}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{250}{13}&-\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}\times 5+\frac{10}{13}\times 30\\\frac{250}{13}\times 5-\frac{20}{13}\times 30\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\50\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=100,y=50$$