حل {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=4$$

$$y=25$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$-10x+20y=460$$

20y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-10x=-20y+460$$

هر دو طرف بر -10 تقسیم شوند.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

-\frac{1}{10} بار -20y+460.

$$x=2y-46$$

-46+2y را با x در معادله جایگزین کنید، 30x+60y=1620.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

30 بار -46+2y.

$$60y-1380+60y=1620$$

60y را به 60y اضافه کنید.

$$120y-1380=1620$$

1380 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$120y=3000$$

هر دو طرف بر 120 تقسیم شوند.

$$y=25$$

25 را با y در x=2y-46 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=2\times 25-46$$

2 بار 25.

$$x=50-46$$

-46 را به 50 اضافه کنید.

$$x=4$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=4,y=25$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=4,y=25$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

برای مساوی کردن -10x و 30x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 30 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در -10 ضرب کنید.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

ساده کنید.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

-300x-600y=-16200 را از -300x+600y=13800 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

-300x را به 300x اضافه کنید. عبارت‌های -300x و 300x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$600y+600y=13800+16200$$

600y را به 600y اضافه کنید.

$$1200y=13800+16200$$

13800 را به 16200 اضافه کنید.

$$1200y=30000$$

هر دو طرف بر 1200 تقسیم شوند.

$$y=25$$

25 را با y در 30x+60y=1620 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$30x+60\times 25=1620$$

60 بار 25.

$$30x+1500=1620$$

1500 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$30x=120$$

هر دو طرف بر 30 تقسیم شوند.

$$x=4$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=4,y=25$$