حل {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

برای y،z حل کنید

$$y=18$$

$$z=-3$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف در 3 ضرب شوند.

$$y+2z=4\times 3$$

4 و 3 را برای دستیابی به 12 ضرب کنید.

$$y+2z=12$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 6، کوچکترین مضرب مشترک 6,3، ضرب شود.

$$5y+2\times 7z=48$$

2 و 7 را برای دستیابی به 14 ضرب کنید.

$$5y+14z=48$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن y در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، y را به دست آورید.

$$y+2z=12$$

2z را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$y=-2z+12$$

-2z+12 را با y در معادله جایگزین کنید، 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

5 بار -2z+12.

$$-10z+60+14z=48$$

-10z را به 14z اضافه کنید.

$$4z+60=48$$

60 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4z=-12$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$z=-3$$

-3 را با z در y=-2z+12 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

-2 بار -3.

$$y=6+12$$

12 را به 6 اضافه کنید.

$$y=18$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=18,z=-3$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف در 3 ضرب شوند.

$$y+2z=4\times 3$$

4 و 3 را برای دستیابی به 12 ضرب کنید.

$$y+2z=12$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 6، کوچکترین مضرب مشترک 6,3، ضرب شود.

$$5y+2\times 7z=48$$

2 و 7 را برای دستیابی به 14 ضرب کنید.

$$5y+14z=48$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس y و z را استخراج کنید.

$$y=18,z=-3$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف در 3 ضرب شوند.

$$y+2z=4\times 3$$

4 و 3 را برای دستیابی به 12 ضرب کنید.

$$y+2z=12$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 6، کوچکترین مضرب مشترک 6,3، ضرب شود.

$$5y+2\times 7z=48$$

2 و 7 را برای دستیابی به 14 ضرب کنید.

$$5y+14z=48$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

برای مساوی کردن y و 5y، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 5 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

ساده کنید.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

5y+14z=48 را از 5y+10z=60 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

5y را به -5y اضافه کنید. عبارت‌های 5y و -5y با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$10z-14z=60-48$$

10z را به -14z اضافه کنید.

$$-4z=60-48$$

60 را به -48 اضافه کنید.

$$-4z=12$$

هر دو طرف بر -4 تقسیم شوند.

$$z=-3$$

-3 را با z در 5y+14z=48 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

14 بار -3.

$$5y-42=48$$

42 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5y=90$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$y=18$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=18,z=-3$$