حل {l}{x/36-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 36 ضرب کنید.

$$x-36y=756$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 20 ضرب کنید.

$$20x-y=320$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x-36y=756$$

36y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=36y+756$$

756+36y را با x در معادله جایگزین کنید، 20x-y=320.

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

20 بار 756+36y.

$$720y+15120-y=320$$

720y را به -y اضافه کنید.

$$719y+15120=320$$

15120 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$719y=-14800$$

هر دو طرف بر 719 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

-\frac{14800}{719} را با y در x=36y+756 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

36 بار -\frac{14800}{719}.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

756 را به -\frac{532800}{719} اضافه کنید.

$$x=\frac{10764}{719}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 36 ضرب کنید.

$$x-36y=756$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 20 ضرب کنید.

$$20x-y=320$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 36 ضرب کنید.

$$x-36y=756$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 20 ضرب کنید.

$$20x-y=320$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

برای مساوی کردن x و 20x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 20 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

ساده کنید.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

20x-y=320 را از 20x-720y=15120 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

20x را به -20x اضافه کنید. عبارت‌های 20x و -20x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-720y+y=15120-320$$

-720y را به y اضافه کنید.

$$-719y=15120-320$$

15120 را به -320 اضافه کنید.

$$-719y=14800$$

هر دو طرف بر -719 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

-\frac{14800}{719} را با y در 20x-y=320 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

\frac{14800}{719} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

هر دو طرف بر 20 تقسیم شوند.

$$x=\frac{10764}{719}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$