حل {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=12$$

$$y=15$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 15، کوچکترین مضرب مشترک 3,5، ضرب شود.

$$5x+3y=105$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 30، کوچکترین مضرب مشترک 6,5، ضرب شود.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-6 و 2 را برای دستیابی به -12 ضرب کنید.

$$5x-12y=-120$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$5x+3y=105$$

3y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$5x=-3y+105$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

\frac{1}{5} بار -3y+105.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

-\frac{3y}{5}+21 را با x در معادله جایگزین کنید، 5x-12y=-120.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

5 بار -\frac{3y}{5}+21.

$$-3y+105-12y=-120$$

-3y را به -12y اضافه کنید.

$$-15y+105=-120$$

105 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-15y=-225$$

هر دو طرف بر -15 تقسیم شوند.

$$y=15$$

15 را با y در x=-\frac{3}{5}y+21 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

-\frac{3}{5} بار 15.

$$x=-9+21$$

21 را به -9 اضافه کنید.

$$x=12$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=12,y=15$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 15، کوچکترین مضرب مشترک 3,5، ضرب شود.

$$5x+3y=105$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 30، کوچکترین مضرب مشترک 6,5، ضرب شود.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-6 و 2 را برای دستیابی به -12 ضرب کنید.

$$5x-12y=-120$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=12,y=15$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 15، کوچکترین مضرب مشترک 3,5، ضرب شود.

$$5x+3y=105$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 30، کوچکترین مضرب مشترک 6,5، ضرب شود.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-6 و 2 را برای دستیابی به -12 ضرب کنید.

$$5x-12y=-120$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

5x-12y=-120 را از 5x+3y=105 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

5x را به -5x اضافه کنید. عبارت‌های 5x و -5x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$3y+12y=105+120$$

3y را به 12y اضافه کنید.

$$15y=105+120$$

105 را به 120 اضافه کنید.

$$15y=225$$

هر دو طرف بر 15 تقسیم شوند.

$$y=15$$

15 را با y در 5x-12y=-120 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$5x-12\times 15=-120$$

-12 بار 15.

$$5x-180=-120$$

180 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x=60$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x=12$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=12,y=15$$