حل {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

مراحل استفاده از جایگزینی و فرمول درجه دوم

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 36، کوچکترین مضرب مشترک 9,4، ضرب شود.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله 3x+4y=1، x را به دست آورید.

$$3x+4y=1$$

4y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x=-4y+1$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} را با x در معادله جایگزین کنید، 9y^{2}+4x^{2}=36.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} را مجذور کنید.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

4 بار \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

9y^{2} را به \frac{64}{9}y^{2} اضافه کنید.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

36 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} را با a، 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 را با b و -\frac{320}{9} را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

-4 بار 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{580}{9} را در -\frac{320}{9} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1024}{81} را به \frac{185600}{81} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

ریشه دوم 2304 را به دست آورید.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

متضاد 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 عبارت است از \frac{32}{9}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

2 بار 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

اکنون معادله y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. \frac{32}{9} را به 48 اضافه کنید.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{464}{9} را بر \frac{290}{9} با ضرب \frac{464}{9} در معکوس \frac{290}{9} تقسیم کنید.

$$y=\frac{8}{5}$$

اکنون معادله y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} وقتی که ± منفی است حل کنید. 48 را از \frac{32}{9} تفریق کنید.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

-\frac{400}{9} را بر \frac{290}{9} با ضرب -\frac{400}{9} در معکوس \frac{290}{9} تقسیم کنید.

$$y=-\frac{40}{29}$$

برای y، دو راه‌حل وجود دارد: \frac{8}{5} و -\frac{40}{29}. \frac{8}{5} را با y در معادله x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} برای یافتن راه‌حل مربوطه برای x که برای هر معادله مناسب است، جایگزین کنید.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{4}{3} را در \frac{8}{5} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} را به \frac{1}{3} اضافه کنید.

$$x=-\frac{9}{5}$$

اکنون -\frac{40}{29} را با y در معادله x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} جایگزین کنید و برای یافتن راه‌حل مربوطه برای x که برای هر دو معادله مناسب است، حل کنید.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{4}{3} را در -\frac{40}{29} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

-\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) را به \frac{1}{3} اضافه کنید.

$$x=\frac{63}{29}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$