حل {l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=1$$

$$y=3$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 6، کوچکترین مضرب مشترک 3,2، ضرب شود.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در 9x+4y استفاده کنید.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

از اموال توزیعی برای ضرب -3 در 5x-11 استفاده کنید.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

18x و -15x را برای به دست آوردن 3x ترکیب کنید.

$$3x+8y+33=78-6y$$

6y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3x+8y+33+6y=78$$

8y و 6y را برای به دست آوردن 14y ترکیب کنید.

$$3x+14y+33=78$$

33 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x+14y=78-33$$

تفریق 33 را از 78 برای به دست آوردن 45 تفریق کنید.

$$3x+14y=45$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$3x+14y=45$$

14y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x=-14y+45$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

\frac{1}{3} بار -14y+45.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

-\frac{14y}{3}+15 را با x در معادله جایگزین کنید، 13x-7y=-8.

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

13 بار -\frac{14y}{3}+15.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

-\frac{182y}{3} را به -7y اضافه کنید.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

195 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{203}{3} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=3$$

3 را با y در x=-\frac{14}{3}y+15 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

-\frac{14}{3} بار 3.

$$x=-14+15$$

15 را به -14 اضافه کنید.

$$x=1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=1,y=3$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 6، کوچکترین مضرب مشترک 3,2، ضرب شود.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در 9x+4y استفاده کنید.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

از اموال توزیعی برای ضرب -3 در 5x-11 استفاده کنید.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

18x و -15x را برای به دست آوردن 3x ترکیب کنید.

$$3x+8y+33=78-6y$$

6y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3x+8y+33+6y=78$$

8y و 6y را برای به دست آوردن 14y ترکیب کنید.

$$3x+14y+33=78$$

33 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x+14y=78-33$$

تفریق 33 را از 78 برای به دست آوردن 45 تفریق کنید.

$$3x+14y=45$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=1,y=3$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 6، کوچکترین مضرب مشترک 3,2، ضرب شود.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در 9x+4y استفاده کنید.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

از اموال توزیعی برای ضرب -3 در 5x-11 استفاده کنید.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

18x و -15x را برای به دست آوردن 3x ترکیب کنید.

$$3x+8y+33=78-6y$$

6y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3x+8y+33+6y=78$$

8y و 6y را برای به دست آوردن 14y ترکیب کنید.

$$3x+14y+33=78$$

33 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x+14y=78-33$$

تفریق 33 را از 78 برای به دست آوردن 45 تفریق کنید.

$$3x+14y=45$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

برای مساوی کردن 3x و 13x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 13 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 3 ضرب کنید.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

ساده کنید.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

39x-21y=-24 را از 39x+182y=585 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

39x را به -39x اضافه کنید. عبارت‌های 39x و -39x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$182y+21y=585+24$$

182y را به 21y اضافه کنید.

$$203y=585+24$$

585 را به 24 اضافه کنید.

$$203y=609$$

هر دو طرف بر 203 تقسیم شوند.

$$y=3$$

3 را با y در 13x-7y=-8 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$13x-7\times 3=-8$$

-7 بار 3.

$$13x-21=-8$$

21 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$13x=13$$

هر دو طرف بر 13 تقسیم شوند.

$$x=1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=1,y=3$$