حل {l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

برای A،B حل کنید

$$A=300$$

$$B=200$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن A در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، A را به دست آورید.

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

B را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{2}{3} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

\frac{3}{2} بار -B+400.

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

-\frac{3B}{2}+600 را با A در معادله جایگزین کنید، A+\frac{4}{5}B=460.

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

-\frac{3B}{2} را به \frac{4B}{5} اضافه کنید.

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

600 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{7}{10} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$B=200$$

200 را با B در A=-\frac{3}{2}B+600 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای A حل کنید.

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

-\frac{3}{2} بار 200.

$$A=-300+600$$

600 را به -300 اضافه کنید.

$$A=300$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$A=300,B=200$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس A و B را استخراج کنید.

$$A=300,B=200$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

برای مساوی کردن \frac{2A}{3} و A، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 1 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در \frac{2}{3} ضرب کنید.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

ساده کنید.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3} را از \frac{2}{3}A+B=400 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

\frac{2A}{3} را به -\frac{2A}{3} اضافه کنید. عبارت‌های \frac{2A}{3} و -\frac{2A}{3} با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

B را به -\frac{8B}{15} اضافه کنید.

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

400 را به -\frac{920}{3} اضافه کنید.

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{7}{15} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$B=200$$

200 را با B در A+\frac{4}{5}B=460 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای A حل کنید.

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

\frac{4}{5} بار 200.

$$A+160=460$$

160 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$A=300$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$A=300,B=200$$