حل {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 100 ضرب کنید.

$$108x+110y=100800$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. کسر \frac{110}{100} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

کسر \frac{108}{100} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$108x+110y=100800$$

110y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$108x=-110y+100800$$

هر دو طرف بر 108 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

\frac{1}{108} بار -110y+100800.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

-\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} را با x در معادله جایگزین کنید، \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

\frac{11}{10} بار -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

-\frac{121y}{108} را به \frac{27y}{25} اضافه کنید.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

\frac{3080}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{109}{2700} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

-\frac{3600}{109} را با y در x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{55}{54} را در -\frac{3600}{109} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{2800}{3} را به \frac{11000}{327} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=\frac{105400}{109}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 100 ضرب کنید.

$$108x+110y=100800$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. کسر \frac{110}{100} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

کسر \frac{108}{100} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 100 ضرب کنید.

$$108x+110y=100800$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. کسر \frac{110}{100} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

کسر \frac{108}{100} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

برای مساوی کردن 108x و \frac{11x}{10}، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در \frac{11}{10} و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 108 ضرب کنید.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

ساده کنید.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 را از \frac{594}{5}x+121y=110880 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

\frac{594x}{5} را به -\frac{594x}{5} اضافه کنید. عبارت‌های \frac{594x}{5} و -\frac{594x}{5} با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

121y را به -\frac{2916y}{25} اضافه کنید.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

110880 را به -111024 اضافه کنید.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{109}{25} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

-\frac{3600}{109} را با y در \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{27}{25} را در -\frac{3600}{109} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

\frac{3888}{109} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{11}{10} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$x=\frac{105400}{109}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$