حل {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

مراحل استفاده از جایگزینی

دومین معادله را در نظر بگیرید. 23y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x+y-23y=0$$

y و -23y را برای به دست آوردن -22y ترکیب کنید.

$$2x-22y=0$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x+y=89$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-y+89$$

-y+89 را با x در معادله جایگزین کنید، 2x-22y=0.

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

2 بار -y+89.

$$-2y+178-22y=0$$

-2y را به -22y اضافه کنید.

$$-24y+178=0$$

178 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-24y=-178$$

هر دو طرف بر -24 تقسیم شوند.

$$y=\frac{89}{12}$$

\frac{89}{12} را با y در x=-y+89 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

89 را به -\frac{89}{12} اضافه کنید.

$$x=\frac{979}{12}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

مراحل استفاده از ماتریس

دومین معادله را در نظر بگیرید. 23y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x+y-23y=0$$

y و -23y را برای به دست آوردن -22y ترکیب کنید.

$$2x-22y=0$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

مراحل استفاده از حذف

دومین معادله را در نظر بگیرید. 23y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x+y-23y=0$$

y و -23y را برای به دست آوردن -22y ترکیب کنید.

$$2x-22y=0$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

برای مساوی کردن x و 2x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 2 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

ساده کنید.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

2x-22y=0 را از 2x+2y=178 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

2x را به -2x اضافه کنید. عبارت‌های 2x و -2x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$2y+22y=178$$

2y را به 22y اضافه کنید.

$$24y=178$$

هر دو طرف بر 24 تقسیم شوند.

$$y=\frac{89}{12}$$

\frac{89}{12} را با y در 2x-22y=0 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

-22 بار \frac{89}{12}.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

\frac{979}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x=\frac{979}{6}$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$x=\frac{979}{12}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$