حل {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=2$$

$$y=6$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x+y=8$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-y+8$$

-y+8 را با x در معادله جایگزین کنید، 40x+55y=410.

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

40 بار -y+8.

$$-40y+320+55y=410$$

-40y را به 55y اضافه کنید.

$$15y+320=410$$

320 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$15y=90$$

هر دو طرف بر 15 تقسیم شوند.

$$y=6$$

6 را با y در x=-y+8 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-6+8$$

8 را به -6 اضافه کنید.

$$x=2$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=2,y=6$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=2,y=6$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

برای مساوی کردن x و 40x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 40 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

ساده کنید.

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

40x+55y=410 را از 40x+40y=320 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

40x را به -40x اضافه کنید. عبارت‌های 40x و -40x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$40y-55y=320-410$$

40y را به -55y اضافه کنید.

$$-15y=320-410$$

320 را به -410 اضافه کنید.

$$-15y=-90$$

هر دو طرف بر -15 تقسیم شوند.

$$y=6$$

6 را با y در 40x+55y=410 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$40x+55\times 6=410$$

55 بار 6.

$$40x+330=410$$

330 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$40x=80$$

هر دو طرف بر 40 تقسیم شوند.

$$x=2$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=2,y=6$$