حل {c}{x+y=500}{50x+80y=28000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=400$$

$$y=100$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x+y=500$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-y+500$$

-y+500 را با x در معادله جایگزین کنید، 50x+80y=28000.

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

50 بار -y+500.

$$-50y+25000+80y=28000$$

-50y را به 80y اضافه کنید.

$$30y+25000=28000$$

25000 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$30y=3000$$

هر دو طرف بر 30 تقسیم شوند.

$$y=100$$

100 را با y در x=-y+500 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-100+500$$

500 را به -100 اضافه کنید.

$$x=400$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=400,y=100$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=400,y=100$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

برای مساوی کردن x و 50x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 50 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

ساده کنید.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

50x+80y=28000 را از 50x+50y=25000 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

50x را به -50x اضافه کنید. عبارت‌های 50x و -50x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$50y-80y=25000-28000$$

50y را به -80y اضافه کنید.

$$-30y=25000-28000$$

25000 را به -28000 اضافه کنید.

$$-30y=-3000$$

هر دو طرف بر -30 تقسیم شوند.

$$y=100$$

100 را با y در 50x+80y=28000 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$50x+80\times 100=28000$$

80 بار 100.

$$50x+8000=28000$$

8000 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$50x=20000$$

هر دو طرف بر 50 تقسیم شوند.

$$x=400$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=400,y=100$$