حل {c}{x+y=50}{300x+200y=11500}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 50 } \\ { 300 x + 200 y = 11500 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=15$$

$$y=35$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x+y=50$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-y+50$$

-y+50 را با x در معادله جایگزین کنید، 300x+200y=11500.

$$300\left(-y+50\right)+200y=11500$$

300 بار -y+50.

$$-300y+15000+200y=11500$$

-300y را به 200y اضافه کنید.

$$-100y+15000=11500$$

15000 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-100y=-3500$$

هر دو طرف بر -100 تقسیم شوند.

$$y=35$$

35 را با y در x=-y+50 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-35+50$$

50 را به -35 اضافه کنید.

$$x=15$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=15,y=35$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200-300}&-\frac{1}{200-300}\\-\frac{300}{200-300}&\frac{1}{200-300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{100}\\3&-\frac{1}{100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 50+\frac{1}{100}\times 11500\\3\times 50-\frac{1}{100}\times 11500\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\35\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=15,y=35$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

برای مساوی کردن x و 300x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 300 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$300x+300y=300\times 50,300x+200y=11500$$

ساده کنید.

$$300x+300y=15000,300x+200y=11500$$

300x+200y=11500 را از 300x+300y=15000 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$300x-300x+300y-200y=15000-11500$$

300x را به -300x اضافه کنید. عبارت‌های 300x و -300x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$300y-200y=15000-11500$$

300y را به -200y اضافه کنید.

$$100y=15000-11500$$

15000 را به -11500 اضافه کنید.

$$100y=3500$$

هر دو طرف بر 100 تقسیم شوند.

$$y=35$$

35 را با y در 300x+200y=11500 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$300x+200\times 35=11500$$

200 بار 35.

$$300x+7000=11500$$

7000 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$300x=4500$$

هر دو طرف بر 300 تقسیم شوند.

$$x=15$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=15,y=35$$