حل {c}{40x+60y=480}{30x+15y=180}

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=3$$

$$y=6$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$40x+60y=480$$

60y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$40x=-60y+480$$

هر دو طرف بر 40 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

\frac{1}{40} بار -60y+480.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

-\frac{3y}{2}+12 را با x در معادله جایگزین کنید، 30x+15y=180.

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

30 بار -\frac{3y}{2}+12.

$$-45y+360+15y=180$$

-45y را به 15y اضافه کنید.

$$-30y+360=180$$

360 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-30y=-180$$

هر دو طرف بر -30 تقسیم شوند.

$$y=6$$

6 را با y در x=-\frac{3}{2}y+12 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

-\frac{3}{2} بار 6.

$$x=-9+12$$

12 را به -9 اضافه کنید.

$$x=3$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=3,y=6$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=3,y=6$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

برای مساوی کردن 40x و 30x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 30 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 40 ضرب کنید.

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

ساده کنید.

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

1200x+600y=7200 را از 1200x+1800y=14400 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

1200x را به -1200x اضافه کنید. عبارت‌های 1200x و -1200x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$1800y-600y=14400-7200$$

1800y را به -600y اضافه کنید.

$$1200y=14400-7200$$

14400 را به -7200 اضافه کنید.

$$1200y=7200$$

هر دو طرف بر 1200 تقسیم شوند.

$$y=6$$

6 را با y در 30x+15y=180 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$30x+15\times 6=180$$

15 بار 6.

$$30x+90=180$$

90 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$30x=90$$

هر دو طرف بر 30 تقسیم شوند.

$$x=3$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=3,y=6$$