حل {c}{10x+14y=460}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 x + 14 y = 460 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=25$$

$$y=15$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$10x+14y=460$$

14y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$10x=-14y+460$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{10}\left(-14y+460\right)$$

\frac{1}{10} بار -14y+460.

$$x=-\frac{7}{5}y+46$$

-\frac{7y}{5}+46 را با x در معادله جایگزین کنید، x+y=40.

$$-\frac{7}{5}y+46+y=40$$

-\frac{7y}{5} را به y اضافه کنید.

$$-\frac{2}{5}y+46=40$$

46 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{2}{5}y=-6$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{2}{5} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=15$$

15 را با y در x=-\frac{7}{5}y+46 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{7}{5}\times 15+46$$

-\frac{7}{5} بار 15.

$$x=-21+46$$

46 را به -21 اضافه کنید.

$$x=25$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=25,y=15$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-14}&-\frac{14}{10-14}\\-\frac{1}{10-14}&\frac{10}{10-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 460+\frac{7}{2}\times 40\\\frac{1}{4}\times 460-\frac{5}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=25,y=15$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

برای مساوی کردن 10x و x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 1 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 10 ضرب کنید.

$$10x+14y=460,10x+10y=10\times 40$$

ساده کنید.

$$10x+14y=460,10x+10y=400$$

10x+10y=400 را از 10x+14y=460 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$10x-10x+14y-10y=460-400$$

10x را به -10x اضافه کنید. عبارت‌های 10x و -10x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$14y-10y=460-400$$

14y را به -10y اضافه کنید.

$$4y=460-400$$

460 را به -400 اضافه کنید.

$$4y=60$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$y=15$$

15 را با y در x+y=40 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x+15=40$$

15 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=25$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=25,y=15$$