حل {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=1$$

$$y=2$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 12، کوچکترین مضرب مشترک 3,4,6، ضرب شود.

$$4x+3y=10$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 15، کوچکترین مضرب مشترک 5,3,15، ضرب شود.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 3x+20y استفاده کنید.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

از اموال توزیعی برای ضرب -5 در 8y+1 استفاده کنید.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

60y و -40y را برای به دست آوردن 20y ترکیب کنید.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

12x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

9x و -12x را برای به دست آوردن -3x ترکیب کنید.

$$-3x+20y-5=16y$$

16y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

20y و -16y را برای به دست آوردن 4y ترکیب کنید.

$$-3x+4y-5=0$$

5 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$-3x+4y=5$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$4x+3y=10$$

3y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x=-3y+10$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

\frac{1}{4} بار -3y+10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

-\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} را با x در معادله جایگزین کنید، -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

-3 بار -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

\frac{9y}{4} را به 4y اضافه کنید.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

\frac{15}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{25}{4} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=2$$

2 را با y در x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{4} بار 2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{5}{2} را به -\frac{3}{2} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=1,y=2$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 12، کوچکترین مضرب مشترک 3,4,6، ضرب شود.

$$4x+3y=10$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 15، کوچکترین مضرب مشترک 5,3,15، ضرب شود.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 3x+20y استفاده کنید.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

از اموال توزیعی برای ضرب -5 در 8y+1 استفاده کنید.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

60y و -40y را برای به دست آوردن 20y ترکیب کنید.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

12x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

9x و -12x را برای به دست آوردن -3x ترکیب کنید.

$$-3x+20y-5=16y$$

16y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

20y و -16y را برای به دست آوردن 4y ترکیب کنید.

$$-3x+4y-5=0$$

5 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$-3x+4y=5$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=1,y=2$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 12، کوچکترین مضرب مشترک 3,4,6، ضرب شود.

$$4x+3y=10$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 15، کوچکترین مضرب مشترک 5,3,15، ضرب شود.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 3x+20y استفاده کنید.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

از اموال توزیعی برای ضرب -5 در 8y+1 استفاده کنید.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

60y و -40y را برای به دست آوردن 20y ترکیب کنید.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

12x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

9x و -12x را برای به دست آوردن -3x ترکیب کنید.

$$-3x+20y-5=16y$$

16y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

20y و -16y را برای به دست آوردن 4y ترکیب کنید.

$$-3x+4y-5=0$$

5 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$-3x+4y=5$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

برای مساوی کردن 4x و -3x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -3 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 4 ضرب کنید.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

ساده کنید.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

-12x+16y=20 را از -12x-9y=-30 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

-12x را به 12x اضافه کنید. عبارت‌های -12x و 12x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-9y-16y=-30-20$$

-9y را به -16y اضافه کنید.

$$-25y=-30-20$$

-30 را به -20 اضافه کنید.

$$-25y=-50$$

هر دو طرف بر -25 تقسیم شوند.

$$y=2$$

2 را با y در -3x+4y=5 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$-3x+4\times 2=5$$

4 بار 2.

$$-3x+8=5$$

8 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-3x=-3$$

هر دو طرف بر -3 تقسیم شوند.

$$x=1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=1,y=2$$