حل {l}{y-x=0.6}{500x+200y=460}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - x = 0.6 } \\ { 500 x + 200 y = 460 } \end{array} \right.$$

برای y،x حل کنید

$$x=\frac{17}{35}\approx 0.485714286$$

$$y = \frac{38}{35} = 1\frac{3}{35} \approx 1.085714286$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$y-x=0.6,200y+500x=460$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن y در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، y را به دست آورید.

$$y-x=0.6$$

x را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=x+0.6$$

x+0.6 را با y در معادله جایگزین کنید، 200y+500x=460.

$$200\left(x+0.6\right)+500x=460$$

200 بار x+0.6.

$$200x+120+500x=460$$

200x را به 500x اضافه کنید.

$$700x+120=460$$

120 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$700x=340$$

هر دو طرف بر 700 تقسیم شوند.

$$x=\frac{17}{35}$$

\frac{17}{35} را با x در y=x+0.6 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$y=\frac{17}{35}+0.6$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، 0.6 را به \frac{17}{35} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$y=\frac{38}{35}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=\frac{38}{35},x=\frac{17}{35}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$y-x=0.6,200y+500x=460$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\200&500\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.6\\460\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&-1\\200&500\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\200&500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\200&500\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\200&500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6\\460\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\200&500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6\\460\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\200&500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6\\460\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{500}{500-\left(-200\right)}&-\frac{-1}{500-\left(-200\right)}\\-\frac{200}{500-\left(-200\right)}&\frac{1}{500-\left(-200\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.6\\460\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{1}{700}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{700}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.6\\460\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 0.6+\frac{1}{700}\times 460\\-\frac{2}{7}\times 0.6+\frac{1}{700}\times 460\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{35}\\\frac{17}{35}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس y و x را استخراج کنید.

$$y=\frac{38}{35},x=\frac{17}{35}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$y-x=0.6,200y+500x=460$$

برای مساوی کردن y و 200y، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 200 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$200y+200\left(-1\right)x=200\times 0.6,200y+500x=460$$

ساده کنید.

$$200y-200x=120,200y+500x=460$$

200y+500x=460 را از 200y-200x=120 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$200y-200y-200x-500x=120-460$$

200y را به -200y اضافه کنید. عبارت‌های 200y و -200y با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-200x-500x=120-460$$

-200x را به -500x اضافه کنید.

$$-700x=120-460$$

120 را به -460 اضافه کنید.

$$-700x=-340$$

هر دو طرف بر -700 تقسیم شوند.

$$x=\frac{17}{35}$$

\frac{17}{35} را با x در 200y+500x=460 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$200y+500\times \frac{17}{35}=460$$

500 بار \frac{17}{35}.

$$200y+\frac{1700}{7}=460$$

\frac{1700}{7} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$200y=\frac{1520}{7}$$

هر دو طرف بر 200 تقسیم شوند.

$$y=\frac{38}{35}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=\frac{38}{35},x=\frac{17}{35}$$