حل {l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

مراحل استفاده از جایگزینی و فرمول درجه دوم

اولین معادله را در نظر بگیرید. kx را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$y-kx=b$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو طرف معادله را در 4 ضرب کنید.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

با تنها نگه داشتن y در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله y+\left(-k\right)x=b، y را به دست آورید.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

\left(-k\right)x را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$y=kx+b$$

kx+b را با y در معادله جایگزین کنید، x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

kx+b را مجذور کنید.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

4 بار k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

x^{2} را به 4k^{2}x^{2} اضافه کنید.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

4 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1+4k^{2} را با a، 4\times 2kb را با b و -4+4b^{2} را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

4\times 2kb را مجذور کنید.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4 بار 1+4k^{2}.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4-16k^{2} بار -4+4b^{2}.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

64k^{2}b^{2} را به -16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right) اضافه کنید.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

ریشه دوم -16b^{2}+64k^{2}+16 را به دست آورید.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

2 بار 1+4k^{2}.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

اکنون معادله x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -8kb را به 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} اضافه کنید.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} را بر 2+8k^{2} تقسیم کنید.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

اکنون معادله x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} را از -8kb تفریق کنید.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} را بر 2+8k^{2} تقسیم کنید.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

برای x، دو راه‌حل وجود دارد: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} و -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} را با x در معادله y=kx+b برای یافتن راه‌حل مربوطه برای y که برای هر معادله مناسب است، جایگزین کنید.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

k بار \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

اکنون -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} را با x در معادله y=kx+b جایگزین کنید و برای یافتن راه‌حل مربوطه برای y که برای هر دو معادله مناسب است، حل کنید.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

k بار -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

برای x،y حل کنید (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$