حل {l}{x+y=45}{18x+120y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x+y=45$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-y+45$$

-y+45 را با x در معادله جایگزین کنید، 18x+120y=6000.

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

18 بار -y+45.

$$-18y+810+120y=6000$$

-18y را به 120y اضافه کنید.

$$102y+810=6000$$

810 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$102y=5190$$

هر دو طرف بر 102 تقسیم شوند.

$$y=\frac{865}{17}$$

\frac{865}{17} را با y در x=-y+45 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

45 را به -\frac{865}{17} اضافه کنید.

$$x=-\frac{100}{17}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

برای مساوی کردن x و 18x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 18 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

ساده کنید.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

18x+120y=6000 را از 18x+18y=810 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

18x را به -18x اضافه کنید. عبارت‌های 18x و -18x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$18y-120y=810-6000$$

18y را به -120y اضافه کنید.

$$-102y=810-6000$$

810 را به -6000 اضافه کنید.

$$-102y=-5190$$

هر دو طرف بر -102 تقسیم شوند.

$$y=\frac{865}{17}$$

\frac{865}{17} را با y در 18x+120y=6000 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

120 بار \frac{865}{17}.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

\frac{103800}{17} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

هر دو طرف بر 18 تقسیم شوند.

$$x=-\frac{100}{17}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$