حل {l}{x+y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=96$$

$$y=108$$

مراحل استفاده از جایگزینی

دومین معادله را در نظر بگیرید. \frac{3}{4}x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x+y=204$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-y+204$$

-y+204 را با x در معادله جایگزین کنید، -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0.

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

-\frac{3}{4} بار -y+204.

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

\frac{3y}{4} را به \frac{2y}{3} اضافه کنید.

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

153 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$\frac{17}{12}y=153$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{17}{12} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=108$$

108 را با y در x=-y+204 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-108+204$$

204 را به -108 اضافه کنید.

$$x=96$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=96,y=108$$

مراحل استفاده از ماتریس

دومین معادله را در نظر بگیرید. \frac{3}{4}x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=96,y=108$$

مراحل استفاده از حذف

دومین معادله را در نظر بگیرید. \frac{3}{4}x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

برای مساوی کردن x و -\frac{3x}{4}، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -\frac{3}{4} و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

ساده کنید.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 را از -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

-\frac{3x}{4} را به \frac{3x}{4} اضافه کنید. عبارت‌های -\frac{3x}{4} و \frac{3x}{4} با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

-\frac{3y}{4} را به -\frac{2y}{3} اضافه کنید.

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{17}{12} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=108$$

108 را با y در -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

\frac{2}{3} بار 108.

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

72 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{3}{4} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$x=96$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=96,y=108$$