حل {l}{x+y=15}{250x+80y=2900}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=10$$

$$y=5$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$x+y=15$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-y+15$$

-y+15 را با x در معادله جایگزین کنید، 250x+80y=2900.

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

250 بار -y+15.

$$-250y+3750+80y=2900$$

-250y را به 80y اضافه کنید.

$$-170y+3750=2900$$

3750 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-170y=-850$$

هر دو طرف بر -170 تقسیم شوند.

$$y=5$$

5 را با y در x=-y+15 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-5+15$$

15 را به -5 اضافه کنید.

$$x=10$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=10,y=5$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=10,y=5$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

برای مساوی کردن x و 250x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 250 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

ساده کنید.

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

250x+80y=2900 را از 250x+250y=3750 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

250x را به -250x اضافه کنید. عبارت‌های 250x و -250x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$250y-80y=3750-2900$$

250y را به -80y اضافه کنید.

$$170y=3750-2900$$

3750 را به -2900 اضافه کنید.

$$170y=850$$

هر دو طرف بر 170 تقسیم شوند.

$$y=5$$

5 را با y در 250x+80y=2900 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$250x+80\times 5=2900$$

80 بار 5.

$$250x+400=2900$$

400 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$250x=2500$$

هر دو طرف بر 250 تقسیم شوند.

$$x=10$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=10,y=5$$