حل {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=50$$

$$y=4$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$6x+15y=360$$

15y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$6x=-15y+360$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

\frac{1}{6} بار -15y+360.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

-\frac{5y}{2}+60 را با x در معادله جایگزین کنید، 8x+10y=440.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

8 بار -\frac{5y}{2}+60.

$$-20y+480+10y=440$$

-20y را به 10y اضافه کنید.

$$-10y+480=440$$

480 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-10y=-40$$

هر دو طرف بر -10 تقسیم شوند.

$$y=4$$

4 را با y در x=-\frac{5}{2}y+60 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

-\frac{5}{2} بار 4.

$$x=-10+60$$

60 را به -10 اضافه کنید.

$$x=50$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=50,y=4$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=50,y=4$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

برای مساوی کردن 6x و 8x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 8 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 6 ضرب کنید.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

ساده کنید.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

48x+60y=2640 را از 48x+120y=2880 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

48x را به -48x اضافه کنید. عبارت‌های 48x و -48x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$120y-60y=2880-2640$$

120y را به -60y اضافه کنید.

$$60y=2880-2640$$

2880 را به -2640 اضافه کنید.

$$60y=240$$

هر دو طرف بر 60 تقسیم شوند.

$$y=4$$

4 را با y در 8x+10y=440 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$8x+10\times 4=440$$

10 بار 4.

$$8x+40=440$$

40 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$8x=400$$

هر دو طرف بر 8 تقسیم شوند.

$$x=50$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=50,y=4$$