حل {l}{50x+y=200}{60x+y=260}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=6$$

$$y=-100$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$50x+y=200$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$50x=-y+200$$

هر دو طرف بر 50 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

\frac{1}{50} بار -y+200.

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

-\frac{y}{50}+4 را با x در معادله جایگزین کنید، 60x+y=260.

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

60 بار -\frac{y}{50}+4.

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

-\frac{6y}{5} را به y اضافه کنید.

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

240 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{1}{5}y=20$$

هر دو طرف در -5 ضرب شوند.

$$y=-100$$

-100 را با y در x=-\frac{1}{50}y+4 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

-\frac{1}{50} بار -100.

$$x=2+4$$

4 را به 2 اضافه کنید.

$$x=6$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=6,y=-100$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=6,y=-100$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

60x+y=260 را از 50x+y=200 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$50x-60x+y-y=200-260$$

y را به -y اضافه کنید. عبارت‌های y و -y با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$50x-60x=200-260$$

50x را به -60x اضافه کنید.

$$-10x=200-260$$

200 را به -260 اضافه کنید.

$$-10x=-60$$

هر دو طرف بر -10 تقسیم شوند.

$$x=6$$

6 را با x در 60x+y=260 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$60\times 6+y=260$$

60 بار 6.

$$360+y=260$$

360 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$y=-100$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=6,y=-100$$