حل {l}{50a+40b=40050}{60a+52b=5000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 a + 40 b = 40050 } \\ { 60 a + 52 b = 5000 } \end{array} \right.$$

برای a،b حل کنید

$$a=9413$$

$$b=-10765$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$50a+40b=40050,60a+52b=5000$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن a در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، a را به دست آورید.

$$50a+40b=40050$$

40b را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$50a=-40b+40050$$

هر دو طرف بر 50 تقسیم شوند.

$$a=\frac{1}{50}\left(-40b+40050\right)$$

\frac{1}{50} بار -40b+40050.

$$a=-\frac{4}{5}b+801$$

-\frac{4b}{5}+801 را با a در معادله جایگزین کنید، 60a+52b=5000.

$$60\left(-\frac{4}{5}b+801\right)+52b=5000$$

60 بار -\frac{4b}{5}+801.

$$-48b+48060+52b=5000$$

-48b را به 52b اضافه کنید.

$$4b+48060=5000$$

48060 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4b=-43060$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$b=-10765$$

-10765 را با b در a=-\frac{4}{5}b+801 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای a حل کنید.

$$a=-\frac{4}{5}\left(-10765\right)+801$$

-\frac{4}{5} بار -10765.

$$a=8612+801$$

801 را به 8612 اضافه کنید.

$$a=9413$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$a=9413,b=-10765$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$50a+40b=40050,60a+52b=5000$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{50\times 52-40\times 60}&-\frac{40}{50\times 52-40\times 60}\\-\frac{60}{50\times 52-40\times 60}&\frac{50}{50\times 52-40\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{50}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{50}\times 40050-\frac{1}{5}\times 5000\\-\frac{3}{10}\times 40050+\frac{1}{4}\times 5000\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9413\\-10765\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس a و b را استخراج کنید.

$$a=9413,b=-10765$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$50a+40b=40050,60a+52b=5000$$

برای مساوی کردن 50a و 60a، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 60 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 50 ضرب کنید.

$$60\times 50a+60\times 40b=60\times 40050,50\times 60a+50\times 52b=50\times 5000$$

ساده کنید.

$$3000a+2400b=2403000,3000a+2600b=250000$$

3000a+2600b=250000 را از 3000a+2400b=2403000 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$3000a-3000a+2400b-2600b=2403000-250000$$

3000a را به -3000a اضافه کنید. عبارت‌های 3000a و -3000a با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$2400b-2600b=2403000-250000$$

2400b را به -2600b اضافه کنید.

$$-200b=2403000-250000$$

2403000 را به -250000 اضافه کنید.

$$-200b=2153000$$

هر دو طرف بر -200 تقسیم شوند.

$$b=-10765$$

-10765 را با b در 60a+52b=5000 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای a حل کنید.

$$60a+52\left(-10765\right)=5000$$

52 بار -10765.

$$60a-559780=5000$$

559780 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$60a=564780$$

هر دو طرف بر 60 تقسیم شوند.

$$a=9413$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$a=9413,b=-10765$$