حل {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. 19y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x-4y-19y=0$$

-4y و -19y را برای به دست آوردن -23y ترکیب کنید.

$$5x-23y=0$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$5x-23y=0$$

23y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x=23y$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

\frac{1}{5} بار 23y.

$$x=\frac{23}{5}y$$

\frac{23y}{5} را با x در معادله جایگزین کنید، 5x+2y=71.

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

5 بار \frac{23y}{5}.

$$23y+2y=71$$

23y را به 2y اضافه کنید.

$$25y=71$$

هر دو طرف بر 25 تقسیم شوند.

$$y=\frac{71}{25}$$

\frac{71}{25} را با y در x=\frac{23}{5}y جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{23}{5} را در \frac{71}{25} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x=\frac{1633}{125}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. 19y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x-4y-19y=0$$

-4y و -19y را برای به دست آوردن -23y ترکیب کنید.

$$5x-23y=0$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. 19y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x-4y-19y=0$$

-4y و -19y را برای به دست آوردن -23y ترکیب کنید.

$$5x-23y=0$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

5x+2y=71 را از 5x-23y=0 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

5x را به -5x اضافه کنید. عبارت‌های 5x و -5x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-23y-2y=-71$$

-23y را به -2y اضافه کنید.

$$-25y=-71$$

هر دو طرف بر -25 تقسیم شوند.

$$y=\frac{71}{25}$$

\frac{71}{25} را با y در 5x+2y=71 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

2 بار \frac{71}{25}.

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

\frac{142}{25} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$5x=\frac{1633}{25}$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1633}{125}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$