حل {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=-10$$

$$y=-2$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$5x+10y=-70$$

10y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$5x=-10y-70$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

\frac{1}{5} بار -10y-70.

$$x=-2y-14$$

-2y-14 را با x در معادله جایگزین کنید، -8x+30y=20.

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

-8 بار -2y-14.

$$16y+112+30y=20$$

16y را به 30y اضافه کنید.

$$46y+112=20$$

112 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$46y=-92$$

هر دو طرف بر 46 تقسیم شوند.

$$y=-2$$

-2 را با y در x=-2y-14 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

-2 بار -2.

$$x=4-14$$

-14 را به 4 اضافه کنید.

$$x=-10$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-10,y=-2$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=-10,y=-2$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

برای مساوی کردن 5x و -8x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -8 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 5 ضرب کنید.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

ساده کنید.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

-40x+150y=100 را از -40x-80y=560 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

-40x را به 40x اضافه کنید. عبارت‌های -40x و 40x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-80y-150y=560-100$$

-80y را به -150y اضافه کنید.

$$-230y=560-100$$

560 را به -100 اضافه کنید.

$$-230y=460$$

هر دو طرف بر -230 تقسیم شوند.

$$y=-2$$

-2 را با y در -8x+30y=20 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

30 بار -2.

$$-8x-60=20$$

60 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$-8x=80$$

هر دو طرف بر -8 تقسیم شوند.

$$x=-10$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-10,y=-2$$